Pole powierzchni

Pole powierzchni (potocznie krótko pole lub powierzchnia) – miara przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.

Ścisła definicja wymaga wykonania pewnej konstrukcji.

Konstrukcja pojęcia pola[edytuj | edytuj kod]

I Definicja[edytuj | edytuj kod]

Najczęściej spotykana definicja (i jedna z najogólniejszych) odwołuje się do następującej konstrukcji:

  1. Pokrywamy całą płaszczyznę, na której znajduje się dana figura, siatką przylegających kwadratów o bokach
  2. Liczbę kwadratów mających choćby jeden punkt wspólny z figurą, której powierzchnię mierzymy, oznaczamy przez

Tworząc rozmaite siatki kwadratów o coraz mniejszych bokach i tak dalej, uzyskujemy ciąg liczb

Polem powierzchni nazywamy granicę:

Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, pola powierzchni nie da się obliczyć tą metodą.

Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę – choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie ma podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować pole powierzchni: suma pól dwóch rozłącznych figur może być większa niż pole figury powstałej z ich połączenia.

Problem wyznaczania pól powierzchni dla wszystkich figur[edytuj | edytuj kod]

  • Zbiory
są wymierne oraz
jest niewymierny lub jest niewymierny
są rozłączne i oba mają zewnętrzną miarę Jordana równą 1. Suma tych dwóch figur (czyli wnętrze kwadratu) ma pole powierzchni równe 1, skąd możemy wnioskować że pola tych figur nie można zdefiniować, używając podejścia Jordana.
  • Istnienie nietrywialnej funkcji, którą dałoby się zmierzyć dowolną figurę i która dla dowolnego ciągu przeliczalnego rozłącznych figur dawałaby wynik równy ich sumie, jest niedowodliwe w standardowym systemie aksjomatów ZFC.
  • Zbiór Vitalego i zbiór Bernsteina (istniejące przy założeniu aksjomatu wyboru) są niemierzalne w sensie Lebesgue’a.
  • Przy założeniu aksjomatu wyboru istnieje skończenie addytywna miara mierząca wszystkie podzbiory przestrzeni.
  • Przy założeniu AD, wszystkie podzbiory przestrzeni euklidesowych są mierzalne w sensie Lebesgue’a.
  • Jeśli istnieje liczba mierzalna, to jest niesprzeczne że continuum jest rzeczywiście mierzalne i że istnieje miara na płaszczyźnie mierząca wszystkie jej podzbiory.

Definicja szkolna[edytuj | edytuj kod]

Definicja używana w szkołach podstawowych, gimnazjach i szkołach średnich.

  1. Obieramy kwadrat o boku 1.
  2. Kwadrat ten zwany kwadratem jednostkowym jest jednostką pola.
  3. Pole jest równe liczbie kwadratów jednostkowych lub jego części mieszczących się całkowicie w mierzonej figurze.

Definicja niejawnie używa pojęcia granicy ciągu (jego części), pojęcia nieużywanego. Definicja ta podaje dolne oszacowanie pola powierzchni figury i dobrze sprawdza się w typowych wypadkach.

Pole pod krzywą[edytuj | edytuj kod]

Pole między krzywą daną równaniem a osią OX ograniczone prostymi i jest równe całce oznaczonej

Pola typowych figur[edytuj | edytuj kod]

  • równoległobok o bokach i oraz kącie między nimi:
    • prostokąt o bokach i
    • prostokąt o przekątnej i stosunku proporcji boków ratio:
    • kwadrat o boku
    • kwadrat o przekątnej
  • pole obszaru ograniczonego przez elipsę o półosiach i
  • koło o promieniu
  • trójkąt o podstawie wysokości i kącie α między bokami i
  • wielokąt foremny ( – liczba boków, – promień okręgu wpisanego w wielokąt, – promień okręgu opisanego, – bok wielokąta):

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]


© Materiał pochodzi z Wikipedia i jest na licencji GFDL

Losowe treści:

Wydarzenia

W Moskwie odsłonięto pierwszy w Rosji pomnik Jana Pawła II. Ma ponad 1,8 m wysokości i waży dwie tony.

Rocznice

1871 – zmarł Charles Babbage, angielski, matematyk i mechanik, twórca maszyny analitycznej

1976 – premiera filmu Brunet wieczorową porą

Muzyka

21 listopada ukaże się nowy singiel wokalistki zatytułowany "Marry The Night". Artystka zaprezentowała właśnie okładkę nowego singla. Na singlu usłyszymy także prawdopodobnie kilka remiksów. Jak zdradziła piosenkarka, "Marry The Night" opowiada o jej miłości do swojego rodzinnego miasta.

Sport

Adam Małysz zabierze do Maroka swoją żonę i córkę, które wystartują w rajdzie RMF Morocco Challenge - ta mocno zaskakująca wiadomość wywołała spore poruszenie w polskich mediach.